Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:| A B | = | C D |
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6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:| A B | = | C D |
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A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:| 3 4 |
= | 6 8 |
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Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
| x 3 | = | 4 6 |
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Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.| m(AB) m(CD) | = | 2 4 |
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Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF
Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com
medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação
ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante
entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura
original são chamadas figuras semelhantes.As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano,
entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e
densidade de um corpo.- Velocidade Média: A "velocidade média", em
geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida
(expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso
em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/ho que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
- Escala: Uma das aplicações da razão entre duas
grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação,
conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à
razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real
correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
- Densidade Demográfica: O cálculo da densidade
demográfica, também chamada de população relativa de uma região é
considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a
razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
- Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é
mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade
(volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em
Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra
unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:
Substância Densidade [g/cm³] madeira 0,5 gasolina 0,7 álcool 0,8 alumínio 2,7 ferro 7,8 mercúrio 13,6 - Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios
trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o
comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato
fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome
desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando que
C = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
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